SPACE TILING(3d) 立体空間タイリング

It is called “tiling” to fill a 2 dimensional plane with densely spaced identical objects.  Can we do a similar thing in 3 dimension space?  Stacking cubes or rectangular solids is the easiest solution. Adding height to a flat tiling pattern is the simplest way, yet this is essentially still 2 dimensional. So far only the truncated octahedral and  rhombic dodecahedron have been identified as pure 3 dimensional objects that fill solid space.　Really no more?

これまでに掲載したオリガミの例は平らな平面を同一の図形で埋め尽くすものでした。タイルで壁を隙間無く張るのに因んでこうゆうことをタイリングと呼びま す。同じことが立体の空間でもできるでしょうか？３次元空間を同じ形の物体で埋め尽くすことができるか？６角柱のように、２次元の平面の上に乗っている図形に高さを加えて立体にするのは一つの方法ですが、本質 的に2次元です。長方体もできますが、当たり前ですね。これまで3次元空間を単一の形で充填できる立体は切頂八面体、と菱形十二面体の２つしか見つかっていません。本当に他にはもうない？

The object above  is the product of our investigation of this question. Believe it or not this cone can be stacked one on top of the other in a densely packed 3D space in every direction without any gaps in-between. By allowing each flat face of an object to be twisted, the form achieves solid tiling. Folding  approximates the envelope of the object and it is made by combining 4 sheets. It is very close to the mathematical form, but the more folding, the more accurately it will approximate the real form. You can not believe  it?…. see the  movie

上の物体が私たちが見つけた形です。一見信じられないでしょうが、これを次々に重ねてゆくと、３次元空間のどの方向にも空間が隙間なくびっしり、きっちり埋まります。数を増やせば、無限に大きな空間がこの形で稠密に充填できます。立体の個々の面が平らでなく、捩れていてもいいんじゃない？と制限を緩めると、こうゆう形もありえるのです。この形は写真のように、４枚のオリガミを合わせることで良く近似できています。折の数をどんどん増やすと、どんどん本当の正確な形に収束します。でも、やっぱり信じられない？では映画をご覧ください。