Möbius Torus from Origami オリガミ製メビウスのトーラス…

8 years ago, I posted an idea about making an origami tube into a torus. Rolling flat origami into a tube

In fact, the folding pattern is too difficult to fold for mass-production and the curvature is very subtle as the pattern is too rigid to curve and creates a huge radius. So this time I made a different model with a simpler pattern.  The section of the tube is designed to be an equilateral triangle. Ignoring the zig-zag pattern of the folds, the torus looks like it is composed of 3 twisted surfaces.  If you trace any of the 3 ridges you can see they disappear before coming back to the starting point, yet the 3 ridges are continuous and part of one envelope. It is like a Möbius strip which has a continuous front and back, but this torus has an additional surface. When you make this tube from paper, the two ends of paper are combined, but the pattern where they meet at the ends is shifted like misaligned buttons holes. That is why the triangle spirals.

8年前に 丸めてチューブにと題してオリガミでトーラスを作るというアイデアを紹介した。実はその時のパタンでは量産するには骨が折れるし、曲がりがゆっくりとした巨大なリングを作らないといけない。しかし別なパタンなら部屋の中に納まるかもしれない。トーラスの断面を工夫すれば捻じれが良く見えるだろう。断面が正三角形になるようにデザインしたのが下の写真。折り目のジグザグを無視すれば、三面でできているように見える。しかし三角の一つの角をトーラスに沿って目で追って行くと一周しても元の点に戻らないで後ろ側へ入って行く。実は一面しかない。すべて一続きになっている。まるでメビウスの帯のみたいだが、帯の裏表の面だけではなくて、もう一つの面を持っている。メビウスの帯を作る時に端をねじってリングを作るのと同じように、ここでも、ボタンのかけ間違いみたいに紙の端部をずらしてジョイントすると捻じれが生じる。

By definition, a symmetrical shape becomes the same shape when it is rotated through certain angles, so a tube can be combined at both ends after spiraling to become a torus. In the case of equilateral triangles it can rotate 120 , 240, 360, 480…. to create a torus. In fact an odd number of corners like a triangle or a pentagon cannot meet at the ends without shifting the “button holes ”. On the contrary, an even number of corners does not have to be shifted to have those ends meet.

対称性のある図形は回転すると元の形と同じ形になるから、そのような断面の筒を作ると筒の始端と終端がぴったり合うことになり、繋げればトーラスに出来る。正三角形の場合、120度、240度、360度、480度……の回転で最初と同型になる。もっとも断面が奇数辺でできるようにすると、ずらさざるをえない。これが四角形とかの偶数辺であれば、ずらさなくてもいいし、ずらしてもいい。

Above is an example of a rhomboid section. The ends meet when rotated by 180 degrees. The twist is very slow so that the total length of the paper reaches 8m before it is folded.  A 360 degree rotation will require twice that length of paper. By the way, when tightly folded, both the triangle and the rhombus lose the twist and become a simple column. The spiral happens only when they are expanded (see the photo below).

これは菱形の例。菱形は180度の回転に対する対称性があるから、180度の回転で筒の両端が繋がる。トーラスを折る前の紙の全長は約8mに達している。もし360度でつなぐと、この二倍の忍耐強い作業が必要になる。ところで上記の3角形もこの菱形も、折り畳んだ時には螺旋が消えて単純な角柱になる。伸ばしたときにできる捻じれはボタンの掛け違いをすることで生じている。

left; compressed triangular section, right: rhombus section. 左:三角断面、右:菱形断面

In the image below can you see that the triangle spins 360 degrees and comes back to the beginning? The 3 ridges spiral along the envelope of the torus,  which are not the crease ridges of folding. Lets call that ridge the “ modulated ridge“ to distinguish it from the creases of the envelope that are created by folding. Any one of the 3 modulated ridges will come back to the starting point, without crossing each other. This means they are independent and triple helical. A rotation of  120 or 240 degrees will result in the ridges aligning. There is only one modulated ridge, there is no front and back but a continuous surface. ( in the same way the DNA double helix does not cross). In detail, the creases that make up this ridge are also a single continuous surface.

次の3角のモデルでは360回転をしているのがわかるだろうか。角に沿ってトーラスを辿ると折り線の山とは別の高次のゆっくりした峰がトーラスを巻いているのが見える。この高次の峰をミクロなオリガミの山と区別するために変調峰と呼ぶことにすると、このトーラスの場合、3本の峰の一本を選んで一周すると、他の峰には渡らないで、もとの変調峰に戻ってくる。つまり3本の変調峰は別々で、互いに3重螺旋を作っている。一方、120度や240度でトーラスを繋げると、各峰が一つに繋がり、一筆書きができる。つまり変調峰は一本しか存在しない。ミクロに見ても折り目の山についても一本で、すべて繋がっている(蛇足だけとDNAの二重螺旋は独立していて、繋がっていない)

This model is designed to spiral even when tightly folded. This speeds up the twisting along the tube faster than the previous models, and thankfully the torus has a smaller radius. Additionally in the previous models the weight of the paper pulled down the shape creating kinks in the form, the twisting speed is even here so that the influence of gravity is negligible and kinks don’t happen.

このモデルの場合、筒を折りたたんだ時にも その形自身が螺旋を描くように折りパタンを計算した。面白いことに、そのために捻じれの速度が速い。トーラスの径が小さくなるので、大変ありがたい。しかも、重力で垂れ下がる部分が無視できるほど小さく、捻じれの程度がどこでも一様なので折れ曲がりキンクが起こらない。

By the way, suppose these models are 1/100 scale architectural models! The ceiling would be around 15m high. What do they look like inside? Can you imagine? It will be amazing!!

ところで、これらを100分の一の建築模型だとか考えてみたら、どうだろうか。その時、天井の高さは15mほどになる。内部空間はどんな感じに見えるだろうか?想像してほしい。とても楽しそうだ。

 

 

 

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